Równania równoważne Drukuj Email
Oceny: / 6
KiepskiŚwietny 
Redaktor: Beata Stolarek   
24.02.2010.

Równania równoważne

Gdybyśmy mieli dwa różne równania, któremają identyczny zbiór rozwiązań, to do szukania tych rozwiązań wybralibyśmy prostszerównanie.

Zapamiętaj

Równania posiadające te same zbiory rozwiązań nazywamy równoważnymi.

W tym module drugi raz używamy sowa"równoważne". Wyrażenia algebraiczne są równoważne, gdy zachowują sięidentycznie przy wstawianiu liczb w miejsce niewiadomych, a teraz badamyrównoważność równań.

Najpierw dwie bardzo proste, ale konieczneuwagi. 
Wyrażenie algebraiczne po lewej stronie znaku równości w równaniu nazywa się
 lewą stroną równania, a wyrażenie po prawej stronie - prawą stroną równania.

I. Jeżeli prawą i lewą stronę równaniazamienimy z sobą stronami, to otrzymamy równanie równoważne.

II. Jeżeli jedną stronę równania zastąpimywyrażeniem algebraicznym równoważnym, to otrzymamy równanie równoważne.

Przykład

x + x = x2 − 1 i 2x = x2 −1 są równaniami równoważnymi, bo x + x i 2x są równoważnymi wyrażeniami algebraicznymi. 
Tak więc porządkując każdą stronę równania, wymnażając nawiasy, redukującwyrazy podobne itp. dostajemy równanie równoważne.

III. 
a) Jeżeli do obu stron równania dodamy tę samą liczbę, to otrzymamy równanierównoważne.
b) Jeżeli od obu stron równania odejmiemy tę samą liczbę, to otrzymamy równanierównoważne.
c) Jeżeli do obu stron równania dodamy to samo wyrażenie algebraiczne,niemające innych zmiennych niż te w równaniu, to otrzymamy równanie równoważne.
d) Jeżeli od obu stron równania odejmiemy to samo wyrażenie algebraiczne,niemające innych zmiennych niż te w równaniu, to otrzymamy równanie równoważne.

Uzasadnienie. a) jest prawdziwe, bo gdy dorównych liczb dodamy równe liczby, to wyniki będą równe, a gdy do nierównychliczb dodamy równe liczby, to wyniki będą nierówne.
b) jest właściwie tym samym, co a), bo zamiast odejmować liczby możemy dodaćliczbę przeciwną i b) zamienia się w a).
c) wynika z a), bo przy każdym obliczaniu wartości nowych stron równania różniąsię one od starych o tę samą liczbę, czyli nowe strony równania i stare stronyrównania albo są jednocześnie równe, albo jednocześnie nierówne.
d) jest tak samo prawdziwe jak c) bo odejmowanie jest dodawanie liczbprzeciwnych.
Najogólniejszym sformułowanie w II jest c), bo pozostałe są szczególnymiprzypadkami c), pamiętanie tych 4 przypadków jest jednak dość wygodne wpraktyce.

IV. 
a) Jeżeli obie strony równania pomnożymy przez tę samą liczbę różną od 0, to otrzymamyrównanie równoważne.
b) Jeżeli obie strony równania podzielimy przez tę samą liczbę różną od zera,to otrzymamy równanie równoważne.
c) Jeżeli obie strony równania pomnożymy przez to samo niezerujące sięwyrażenie algebraiczne, niemające innych zmiennych niż te w równaniu, tootrzymamy równanie równoważne.
d) Jeżeli obie strony równania podzielimy przez to samo niezerujące sięwyrażenie algebraiczne, niemające innych zmiennych niż te w równaniu, tootrzymamy równanie równoważne.

Uzasadnienie jest bardzo podobne do tego zIII z jednym wyjątkiem. Z oczywistych powodów nie dzielimy przez zero, bo jestto niewykonalne. Nie mnożymy przez zero obu stron równania, bo otrzymalibyśmyrównanie prawdziwe, ale mało użyteczne 0 = 0.

Warunek o dodawaniu bądź mnożeniu obustron równania przez tylko takie wyrażenia algebraiczne, które nie mają innychzmiennych niż te w równaniu jest zasadny. 

Przykład

Dodanie do równania tego samego wyrażeniaalgebraicznego jak tutaj2x = x2 i 2x + y = x2 + y zmienia rozwiązania. W pierwszym równaiu mamy tylko rozwiązanie 0 i 2, a wdrugim mamy pary x = 0 i dodolny y oraz pary x = 2 i dowolny y.


Najcenniejsze zastosowanie powyższych operacji polega na tym, że potrafimytworzyć równoważne równania, nie znając wcale rozwiązań, a przy odrobinie pracynauczycie się tworzyć takie równania równoważne, które na prawdę łatwo jestrozwiązać.

Przykład

Przyjrzyj się poniższym schematom:

 x=15-x do obu stron dodajemy 2x- otrzymujemy 3x=15

3x+5=14 od obu stron odejmujemy 5 - otrzymujemy 3x=9

2(x-2)=14 obie strony dzielimy przez 2 - otrzymujemy  x-2=7

x+4=7 obie strony mnożymy przez 4 - otrzymujemy 4x+16=28 

W każdej parze drugie równanie powstało zpierwszego w wyniku pewnego przekształcenia. Oba równania mają jednakowerozwiązania to znaczy są równoważne. Które z nich łatwiej rozwiązać?

 

Zmieniony ( 25.02.2010. )
 
« poprzedni artykuł   następny artykuł »